设f(x)在[0,1]连续，且f(x)

admin2015-07-15 4

问题设f(x)在[0,1]连续，且f(x)<1，又F(x)=(2x-1)-∫₀^xf(t)dt，证明F(x)在(0，1)内有且仅有一个零点。

选项

答案证明：∵f(x)在[0，1]上连续， ∴F(x)在[0，1]连续。又F(0)=-1<0， F(1)=1－[*] －f(ε)，ε∈(0，1) f(x)<1， ∴f(ε)0。由零点定理知F(x)在(0，1)内至少有一个零点。又F’(x)=2-f(x)>0， ∴F(x)在[0，1]上严格单调增加，所以F(x)在(0，1)内最多只有一个零点，从而F(x)在(0，1)内有且仅有一个零点。

解析

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