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  3. 已知A=，求A的特征值与特征向量，并指出A可以相似对角化的条件．

已知A=，求A的特征值与特征向量，并指出A可以相似对角化的条件．

admin2017-07-26  33
问题 已知A=，求A的特征值与特征向量，并指出A可以相似对角化的条件．
选项
答案由矩阵A的特征多项式 ｜λE一A｜=[*]=(λ+a一1)(λ—a)(λ—a一1)， 得A的特征值是λ1=1一a，λ2=a， λ3=a+1． 由(λ1E—A)x=0，得属于λ1=1一a的特征向量是 α1=(1，0，1)T． 由(λ2E—A)x=0，得属于λ2=a的特征向量是 α2=(1，1一2a，1)T， 由(λ3E一A)x=0，得属于λ3=a+1的特征向量是 α3=(2一a，一4a，a+2)T． 如果λ1，λ2，λ3互不相同，即1一a≠a，1一a≠a+1，a≠a+1， 即a≠[*]且a≠0，则矩阵A有3个不同的特征值．A可以相似对角化． 若a=[*]，此时A只有一个线性无关的特征向量，故A不能相似对角化． 若a=0，即λ1=λ3=1，此时A只有一个线性无关的特征向量，故A不能相似对角化．
解析
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考研数学三

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