2. 考研
  3. 设f(x)在[0,+∞)上可导，f(0)=0,且存在常数k＞0,使得｜f’(x)｜≤k｜f(x)｜在[0,+∞)上成立，则在（0，+∞）上（ ）。

设f(x)在[0,+∞)上可导，f(0)=0,且存在常数k＞0,使得｜f’(x)｜≤k｜f(x)｜在[0,+∞)上成立，则在（0，+∞）上（ ）。

admin2021-07-15  9
问题 设f(x)在[0,+∞)上可导，f(0)=0,且存在常数k＞0,使得｜f’(x)｜≤k｜f(x)｜在[0,+∞)上成立，则在（0，+∞）上（     ）。
选项 A、仅当0＜k＜1时，f(x)恒为零
B、仅当k＞1时，f(x)横不为零
C、当k=1时，f(x)不恒为零
D、k为任意正常数时，f(x)均恒为零
答案D
解析 设x0∈,使得｜f(x0｜是｜f(x)｜在上的最大值，由拉格朗日中值定理，
f(x0)－f(0)=f’(ξ)(x0－0),其中ξ∈（0，x0),即
｜f(x0)｜=｜f(0)+f’(ξ)x0｜=｜f’(ξ)｜x0≤k｜f(ξ)｜≤k｜f(x0)｜·｜f(x0)｜
故｜f(x0)｜=0,由此可知，0≤｜f(x)｜≤｜f(x0)｜≤0，也即当x∈时，f(x)恒为零。
同理，设x1∈,使得｜f(x1)｜是｜f(x)｜在上的最大值，由拉格朗日中值定理，
f(x1)－=f’(ξ1)(x1－),ξ1∈(,x1)=0,即
｜f(x1)｜=｜+f’(ξ1)(x1－)｜=｜f’(ξ1)｜·（x1－)≤k·｜f(x1｜·｜f(x1)｜,
故｜f(x1｜=0,也即当x∈时，f(x)亦恒为零，依此递推下去，对x∈,n-1,2,....,均有f(x)恒为零，故选D.
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考研数学二

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