2. 考研
  3. 设随机变量X，Y相互独立，已知X在[0，1]上服从均匀分布，Y服从参数为1的指数分布．求 (Ⅰ)随机变量Z=2X+Y的密度函数； (Ⅱ)Cov(Y，Z)，并判断X与Z的独立性． 5．设二维随机变量(U，V)～N(2，2；4，1；1／2)，记X=U－bY=V

设随机变量X，Y相互独立，已知X在[0，1]上服从均匀分布，Y服从参数为1的指数分布．求 (Ⅰ)随机变量Z=2X+Y的密度函数； (Ⅱ)Cov(Y，Z)，并判断X与Z的独立性． 5．设二维随机变量(U，V)～N(2，2；4，1；1／2)，记X=U－bY=V

admin2018-06-15  33
问题 设随机变量X，Y相互独立，已知X在[0，1]上服从均匀分布，Y服从参数为1的指数分布．求
(Ⅰ)随机变量Z=2X+Y的密度函数；
(Ⅱ)Cov(Y，Z)，并判断X与Z的独立性．
5．设二维随机变量(U，V)～N(2，2；4，1；1／2)，记X=U－bY=V．
选项
答案(X，Y)的联合密度 f(x，y)=fX(x)fY(y) [*] (Ⅰ)应用独立和卷积公式 fZ(z)=∫－∞+∞fX(x)fY(z－2x)dx． 当z＜0时，fZ(z)=0；当0≤z＜2时，z－2x＞0，x＜z／2， fZ(z)=∫0z／2e－(z－2x)dx=1／2(1－e－z) 当z≥2时，z－2x≥0，x≤1， fZ(z)=∫01e－(z－2x)dx=e－z／2(e2－1)． 于是Z的概率密度为 [*] (Ⅱ)由于X，Y相互独立，所以Cov(X，Y)=0． Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X+Y)=2Cov(X，Y)+DY=0+1=1 由于Cov(X，Z)=Cov(X，2X+Y)=2DX+Cov(X，Y)=1／6≠0，所以X与Z不独立．
解析
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考研数学一

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