[2000年] 设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：AX=0和(Ⅱ)：ATAX=0必有( )．

admin2019-05-10 16

问题 [2000年] 设A为n阶实矩阵，A^T是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：AX=0和(Ⅱ)：A^TAX=0必有( )．

选项 A、(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．
B、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．
C、(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．
D、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．

答案A

解析本题的难点是在由A^TAX=0得到A．这只有将A^TAX=0化成只含AX的式子才好研究，为此在A^TAX=0两边同时左乘X^T．
解一  由命题2．4．7．3(1)知，仅(A)入选．
解二  设a为组(Ⅰ)的任一解，则Aα=0，于是有
A^TAα=A^T(Aα)=A^T0=0,
即α也是组(Ⅱ)的解．于是得到组(Ⅰ)的解必为组(Ⅱ)的解．
反之，设β为组(Ⅱ)的任一解．下面证明它也是组(Ⅰ)的解．由A^TAβ=0得到
β^T(A^TAβ)=0，即
(Aβ)^T(Aβ)=(β^TA^T)(Aβ)=β^T(A^TAβ)=0．
  设Aβ=[b₁，b₂，…，b_n]^T，则
(Aβ)T(Aβ)=b₁²+b₂²+…+b_n²=0

b_i=0 (i=1，2，…，n)，
即Aβ=0，亦即β为AX=0的解向量．
或用反证法证之．若Aβ=[b₁，b₂，…，b_n]^T≠0，不妨设b₁≠0，则
(Aβ)^T(Aβ)一[b₁，b₂，…，b_n][b₁，b₂，…，b_n]^T=b₁²+

b_i²＞0．
这与(Aβ)^T(Aβ)=0矛盾．因而Aβ=0，于是组(Ⅱ)的解也必为组(I)的解．因而组(I)与组(II)同解．仅(A)入选．

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考研数学二

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