据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数?

admin2022-11-23 10

问题据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数?

选项

答案设x₀为f(x)在区间I上的第一类间断点，则分两种情况讨论． (1)若x₀为f(x)的可去间断点．反证法．若f(x)在I上有原函数F(x)，则在U(x₀；δ)(δ＞0)内由拉格朗日中值定理有 F(x)=F(x₀)+F’(ξ)(x-x₀)=F(x₀)+f(ξ)(x-x₀)， ξ在x₀和x之间．而 f(x₀)=F’(x₀)=[*] 这与x₀为f(x)的可去间断点是矛盾的，故F(x)不存在． (2)若x₀为f(x)的跳跃间断点．反证法．若f(x)在区间I上有原函数F(x)，则亦有F’(x₀)=[*]f(ξ)=f(x₀)成立．而 f(x₀-0)=F’_-(x₀)=f(x₀)=F’₊(x₀)=f(x₀+0)．这与x₀为跳跃间断点矛盾，故原函数仍不存在．

解析

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