设A=． (1)若矩阵A正定，求a的取值范围． (2)若a是使A正定的正整数，求正交变换化二次型xTAx为标准形，并写出所用坐标变换．

admin2017-07-26 25

问题设A=

．
(1)若矩阵A正定，求a的取值范围．
(2)若a是使A正定的正整数，求正交变换化二次型x^TAx为标准形，并写出所用坐标变换．

选项

答案(1)由A的特征多项式｜λE一A｜=[*]=(λ+a—2)²(λ—2a一2)，得到矩阵A的特征值是λ₁=λ₂=2一a，λ₃=2a+2．那么A正定→[*]→a∈(—1，2)． (2)满足矩阵A正定的正整数a=1，那么 [*] 此时，矩阵A的特征值是λ₁=λ₂=1，λ₃=4．对于λ=1，由(E—A)x=0， [*] 得到属于λ=1的特征向量是α₁=(一1，1，0)^T，α₂=(一1，0，1)^T．对于λ=4，由(4E—A)x=0， [*] 得到属于λ=4的特征向量α₃=(1，1，1)^T．对α₁，α₂正交规范化处理，有 [*] 则经x=Py，有x^TAx=y^T[*]=y₁²+y₂²—4y₃²．

解析

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考研数学三

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