2. 考研
  3. 确定常数a，使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，n，1)T，α3=(a，1，1)T可由向 量组β1=(1，l，a)T，β2=(-2，a，4)T，β3=(-2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示．

确定常数a，使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，n，1)T，α3=(a，1，1)T可由向 量组β1=(1，l，a)T，β2=(-2，a，4)T，β3=(-2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示．

admin2014-05-19  49
问题 确定常数a，使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，n，1)T，α3=(a，1，1)T可由向
量组β1=(1，l，a)T，β2=(-2，a，4)T，β3=(-2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示．
选项
答案方法一： 因为α1，α2，α3 可由向量组β1，β2，β3线性表示，故三个方程组 x1β1+x2β2+x3β3=αi (i=l，2，3) 均有解．对增广矩阵作初等行变换，有 [*] 可见a≠4且a≠-2时，α1，α2，α3可由β1，β2，β3线性表示． 向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示，即有方程组 x1α1+x2α2+x3α3=βj(j=l，2，3)无解．对增广矩阵作初等行变换，有 [*] 可见a=1或a=-2时，β2，β3不能由α1，α2，α3线性表示． 因此a=1时向量组α1，α2，α3 可由向量组β1，β2，β3线性表示，但β1，β2，β3不能由口α1，α2，α3 线性表示． 方法二： 因为α1，α2，α3 可由β1，β2，β3线性表出，所以r(α1，α2，α3 )≤r(β1，β2，β3),又因β1，β2，β3不能由α1，α2，α3线性表出，故必有r(α1，α2，α3)1，β2，β3).于是r(α1，α2，α3)<3. 由丨α1，α2，α3丨=[*]=-(a-1)2(a+2)=0，解出a=1或a=-2． 而(β1，β2，β3)=[*] 当z=-2时，r(α1，α2，α3)=2，r(β1，β2，β3)=2，不满足r(α1，α2，α3)1，β2，β3)，故a=-2应舍去． 当a=1时，α1=α2=α3=β1，可见α1，α2，α3可由β1，β2，β3线性表出．但β2=(-2，1，4)T，β3=(-2，1，1)T不能由α1，α2，α3(1，1，1)T线性表出，因此a=1为所求.
解析 若方程组x1β1+x2β2+x3β3=αi有解，则αi可由β1，β2，β3线性表示，若方程组x1α1+x2α2+x3α3=βj无解，则βj不能由α1，α2，α3 线性表示．
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考研数学三

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