求二元函数z=f(x,y)=x2y(4一x一y)在由x轴、y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值.

admin2016-10-24  38

问题 求二元函数z=f(x,y)=x2y(4一x一y)在由x轴、y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值.

选项

答案(1)求f(x,y)在区域D的边界上的最值, 在L1:y=0(0≤x≤6)上,z=0; 在L2:x=0(0≤y≤6)上,z=0; 在L3:6=x(0≤x≤6)上,z=一2x2(6一x)一2x3—12x2, 由[*]=6x2—24x=0得x=4,因为f(0,6)=0,f(6,0)=0,f(4,2)=一64,所以 f(x,y)在L3上最小值为一64,最大值为0. (2)在区域D内,由 [*] 得驻点为(2,1), [*] 因为AC一B2>0且A<0,所以(2,1)为f(x,y)的极大点,极大值为f(2,1)=4,故z=f(x,y)在D上的最小值为m=f(4,2)一64,最大值为M=f(2,1)=4.

解析
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