2. 考研
  3. 证明：若f在[a，b]上连续，且∫abf(x)dx=∫abxf(x)dx=0，则在(a，b)上至少存在两点x1，x2，使f(x1)=f(x2)=0．又若∫abx2f(x)dx=0，这时f在(a，b)上是否至少有三个零点?

证明：若f在[a，b]上连续，且∫abf(x)dx=∫abxf(x)dx=0，则在(a，b)上至少存在两点x1，x2，使f(x1)=f(x2)=0．又若∫abx2f(x)dx=0，这时f在(a，b)上是否至少有三个零点?

admin2022-11-23  4
问题 证明：若f在[a，b]上连续，且∫abf(x)dx=∫abxf(x)dx=0，则在(a，b)上至少存在两点x1，x2，使f(x1)=f(x2)=0．又若∫abx2f(x)dx=0，这时f在(a，b)上是否至少有三个零点?
选项
答案假设对任意的x∈(a，b)均有f(x)≠0．则由连续函数根的存在性定理知，f(x)在(a，b)内恒正或恒负．于是根据积分不等式的性质有∫abf(x)dx＞0或∫abf(x)dx＜0．这与∫abf(x)dx=0矛盾．故至少存在一点x1∈(a，b)，使f(x1)=0． 假设f(x)在(a，b)内仅有一个零点x1，则0=∫abf(x)dx=[*]且f(x)在(a，x1)与(x1，b)每个区间内不变号(根据连续函数根的存在定理)．故有 [*] 由此知f(x)在x1两边异号．又函数x-x1在x1两边异号，所以g(x)=(x-x1)f(x)在x1两边同号，即g(x)在(a，b)内除一个零点x1外恒正或恒负，从而由g(x)的连续性可得∫abg(x)dx≠0，但 ∫abg(x)dx=∫ab(x-x1)f(x)dx=∫abxf(x)dx-x1∫abf(x)dx=0 矛盾．故在(a，b)内至少存在两点x1，x2，使得f(x1)=f(x2)=0． 下证又若∫abx2f(x)dx=0，则f(x)在(a，b)内至少存在三个零点． 假设在(a，b)内只两点x1，x2，使得f(x1)=f(x2)=0，则 [*] 且f(x)在(a，x1)，(x1，x2)，(x2，b)每个区间内不变号，从而由推广的积分第一中值定理，得 [*] 其中a＜ξ1＜x1＜ξ2＜x2＜ξ3＜b．因为ξ1-ξ3＜0， ξ2-ξ3＜0，[*]，所以由上式知，[*]异号，从而知f(x)在x1两边异号．同理可证f(x)在x2两边也异号．不妨设f(x)在区间(a，x1)，(x1，x2)，(x2，b)内符号分别为正、负、正(其他情况证明类似)． 考虑函数h(x)=(x-x1)(x-x2)f(x)．由于(x-x1)(x-x2)在(a，x1)，(x1，x2)，(x2，b)内的符号分别为正、负、正，故h(x)在(a，x1)，(x1，x2)，(x2，b)每个区间内恒正．又h(x)是连续函数，所以∫abh(x)dx＞0．但 ∫abh(x)dx=∫ab(x-x1)(x-x2)f(x)dx =∫abx2f(x)dx-(x1+x2)∫abxf(x)dx+x1x2∫abf(x)dx=0矛盾．可见在(a，b)内至少有三个点x1，x2，x3使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=0．
解析
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考研数学三

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