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求函数z=x3+8y3-6xy+5的极值.
求函数z=x3+8y3-6xy+5的极值.
admin
2019-02-01
22
问题
求函数z=x
3
+8y
3
-6xy+5的极值.
选项
答案
(1)令[*],解这个方程组.第一个方程可变为x
2
=2y,第二个方程可变为x=4y
2
=(2y)
2
.于是得到x=(x
2
)
2
=x
4
,进而变为x(x
3
-1)=0.得到x
1
=0,x
2
=1,从而方程组的解为[*]。 得到两个驻点M
1
(0,0)和M
2
[*]. 求函数的二阶偏导数A=z
xx
=6x,B=z
xy
=-6,C=z
yy
=48y. 在点M
1
(0,0)处,A=0,B=-6,C=0,因此△=B
2
=AC=36>0.则在点M
1
(0,0)处函数不取得极值. 在点M
2
[*]处,A=6,B=-6,C=24,因此△=B
2
-AC=-108<0. 则在点M
2
[*]处,函数取得极值.因A>0,则[*]是极小值. 注:多元函数求极值一般分为两个步骤,第一步是求出可疑的极值点(驻点、不可导点),第二步是在可疑点处判断是否取得极值.对于第一步,通常是找驻点,其方法是令函数的各个偏导数等于零,然后解这个由偏导数构成的方程组.对于第二步,当函数有二阶偏导数时,可用取得极值的充分条件来判断驻点是否为极值点.
解析
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高等数学(工本)题库公共课分类
0
高等数学(工本)
公共课
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