2. 考研
  3. 求下列曲面积分 I=(x2－y2)dydz+(y2－z2)dzdx+(z2－x2)dxdy，S是=1(z≥0)的上侧．

求下列曲面积分 I=(x2－y2)dydz+(y2－z2)dzdx+(z2－x2)dxdy，S是=1(z≥0)的上侧．

admin2018-06-15  23
问题 求下列曲面积分
I=(x2－y2)dydz+(y2－z2)dzdx+(z2－x2)dxdy，S是=1(z≥0)的上侧．
选项
答案用高斯公式来计算．曲面不封闭，添加辅助面。 S1：z=0，[*]≤1，取下侧．S与S1围成Ω． (Ⅰ)记I1=[*]Pdydz+Qdzdx+Rdxdy，因为S1与yz平面及zx平面垂直，且S1上z=0，所以 [*] =a3b∫0π／2sin22tdt=a3b／2sin2tdt=a3b／4π． (Ⅱ)在Ω上用高斯公式．注意Ω关于yz平面与zx平面对称， [*] (Ⅱ)I=1／2πabc2－I1=1／2πabc2－[*]πa3b=1／4πab(2c2－a2)．
解析
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考研数学一

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