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  3. 设f(x)在[a，b]上存在二阶导数．试证明：存在ξ，η∈(a，b)，使

设f(x)在[a，b]上存在二阶导数．试证明：存在ξ，η∈(a，b)，使

admin2015-08-14  41
问题 设f(x)在[a，b]上存在二阶导数．试证明：存在ξ，η∈(a，b)，使
选项
答案将∫abf(t)dt看成变限函数，用泰勒公式，设法消去式中不出现的项即可． (1)令[*] 将φ(x)在x=x0处展开成泰勒公式至n=2，有 [*] 因f(x)在[a，b]上存在二阶导数，[*](f"(ξ1)+f"(ξ2))介于f"(ξ1)与f"(ξ2)之间，故知存在ξ∈[ξ1，ξ2](或ξ∈[ξ2，ξ1])使[*] 于是知存在ξ∈(a，b)使[*] (2)用常数k值法，令 [*] 有F(a)=0，F(b)=0，所以存在η1∈(a，b)使F’(η1)=0，即[*] 化简为 f(η)一f(a)一f’(η1)(η1一a)一6K(η1一a)2=0.又由泰勒公式有 f(a)=f(η1)+f’(η1)(a一η1)+[*]f"(η)(a一η1)2，a＜η＜η1． 由上述两式即可得，存在η∈(a，b)使[*]即(2)成立．
解析
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考研数学二

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