设函数f在[0,a]上具有二阶导数,且|f”(x)|≤M.f在(0,a)内取得最大值. 试证|f’(0)|+|f’(a)|≤Ma.

admin2022-11-23  24

问题 设函数f在[0,a]上具有二阶导数,且|f”(x)|≤M.f在(0,a)内取得最大值.
    试证|f’(0)|+|f’(a)|≤Ma.

选项

答案设f在(0,a)内的点x0取得最大值,于是x0是f的一个极值点.由于x0∈(0,a)并且f存(0,a)内具有二阶导数.根据费马定理,f’(x0=0.分别在区间[0,x0],[x0,a]上对f’(x)应用拉格朗日中值定理,得到 |f’(0)|=|f’(x0)-f’(0)|=|f”(ξ1)(x0-0)|=|f”(ξ1)|x0,其中ξ1∈(0,x0), |f’(a)|=|f’(a)-f’(x0)|=|f”(ξ2)(a-x0)|=|f”(ξ2)|(a-x0),其中ξ2∈(x0,a),由于|f”(ξ1)|≤M,|f”(ξ2)|≤M,所以 |f’(0)|+|f’(a)|=|f”(ξ1)|x0+|f”(ξ2)|(a-x0)≤Mx0+M(a-x0)=Ma

解析
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