2. 考研
  3. 设某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为q1(吨)与q2(吨)时，总收入函数为R(q1，q2)=15q1+34q2-q12-4q22-2q1q2-36(万元)，设生产1吨甲产品要支付排污费1万元，生产1吨乙产品要支付排污费2万元。 (Ⅰ)如不限

设某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为q1(吨)与q2(吨)时，总收入函数为R(q1，q2)=15q1+34q2-q12-4q22-2q1q2-36(万元)，设生产1吨甲产品要支付排污费1万元，生产1吨乙产品要支付排污费2万元。 (Ⅰ)如不限

admin2020-03-10  48
问题 设某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为q1(吨)与q2(吨)时，总收入函数为R(q1，q2)=15q1+34q2-q12-4q22-2q1q2-36(万元)，设生产1吨甲产品要支付排污费1万元，生产1吨乙产品要支付排污费2万元。
(Ⅰ)如不限制排污费支出，这两种产品产量分别为多少时总利润最大？最大利润多少？
(Ⅱ)若排污费总量为6万元时，这两种产品产量各为多少时总利润最大？最大利润多少？
选项
答案(Ⅰ)利润函数为 L(q1，q2)=R(q1，q2)-q1-2q2=14q1+32q2-q12-4q22-2q1q2-36。 则令 [*] 得q1=4，q2=3 因为驻点唯一，且该实际问题存在最大值，故当q1=4，q2=3时L(q1，q2)达到最大，最大值为L(4，3)=40(万元)。 (Ⅱ)由题意，即有q1+2q2=6。则转化为在条件q1+2q2=6下，利润函数L(q1，q2)的最大值问题。 构造拉格朗日函数F(q1，q2，λ)=L(q1，q2)+λ(q1+2q2-6)，且令 [*] 得q1=2，q2=2，于是在条件q1+2q2=6下，当q1=2，q2=2时，L(q1，q2)取到最大值，最大值为L(2，2)=28(万元)。
解析
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考研数学三

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