设函数f(x)在[0,+∞)内二阶可导,且x∈(0,+∞)都有f"(x)≠0,过曲线y=f(x)(0<x<+∞)上的任意一点(x0,f(x0))作切线,证明:除切点外,该切线与曲线y=f(x)无交点。

admin2022-03-23  45

问题 设函数f(x)在[0,+∞)内二阶可导,且x∈(0,+∞)都有f"(x)≠0,过曲线y=f(x)(0<x<+∞)上的任意一点(x0,f(x0))作切线,证明:除切点外,该切线与曲线y=f(x)无交点。

选项

答案方法一 反证法,假设以点(x0,f(x0))为切点的切线与曲线y=f(x)交于(x1,f(x1))且x0≠x1,在[x0,x1](或[x1,x0])上用拉格朗日中值定理,[*]ξ1∈(x0,x1)(或(x1,x0)),使得 [*]=f’(ξ1)=f’(x0) 由罗尔定理知,存在ξ2∈(0,ξ1)(或(ξ1,x0)),使得f"(ξ2)=0,矛盾。 方法二 不妨设f"(x)>0,设F(x)=f(x)-[f(x0)+f’(x0)(x-x0)],则有 F’(x)=f’(x)-f’(x0),F”(x)=f"(x)>0 而F’(x0)=0,所以当x>x0时,F’(x)>0,当x<x0时,F’(x)<0,因此x=x0为F(x)的最小值点,F(x)>F(x0)=0(x≠x0),即 f(x)>f(x0)+f’(x0)(x-x0),[*]x∈(0,+∞)且x≠x0 因此切线与曲线除切点外不相交。 其实f"(x)≠0说明曲线y=f(x)是凹的或者是凸的,欲证明y=f(x)和y=f(x0)+f’(x0)(x-x0)除切点外不相交,即证它们的差除切点外没有零点。

解析
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