2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]二阶可导，｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f″(x)｜≤b，a，b为非负数，求证：c∈(0，1)，有 ｜f′(c)｜≤2a+b．

设f(x)在[0，1]二阶可导，｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f″(x)｜≤b，a，b为非负数，求证：c∈(0，1)，有 ｜f′(c)｜≤2a+b．

admin2016-10-26  29
问题 设f(x)在[0，1]二阶可导，｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f″(x)｜≤b，a，b为非负数，求证：c∈(0，1)，有
｜f′(c)｜≤2a+b．
选项
答案考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式：[*]x∈[0，1]，[*]c∈(0，1)，有 f(x)=f(c)+f′(c)(x－c)+[*]f″(ξ)(x－c)2， (*) 其中ξ=c+θ(x－c)，0＜θ＜1． 在(*)式中，令x=0，得 f(0)=f(c)+f′(c)(－c)+[*]f″(ξ1)c2，0＜ξ1＜c＜1； 在(*)式中，令x=1，得 f(1)=f(c)+f′(c)(1－c)+[*]f″(ξ2)(1－c)2，0＜c＜ξ2＜1． 上面两式相减得 f(1)－f(0)=f′(c)+[*][f″(ξ2)(1－c)2－f″(ξ1)c2]． 从而f′(c)=f(1)－f(0)+[*][f″(ξ1)c2－f″(ξ2)(1－c)2]，两端取绝对值并放大即得 ｜f′(c)｜≤2a+[*]b[(1－c)2+c2]≤2a+[*]b(1－c+c)=2a+[*]b． 其中利用了对任何c∈(0，1)有(1－c)2≤1－c，c2≤c，于是(1－c)2+c2≤1．
解析 证明与函数的导数在某一点取值有关的不等式时，常常需要利用函数在某点的泰勒展开式．本题涉及证明｜f′(c)｜≤2a+，自然联想到将f(x)在点x=c处展开．
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考研数学一

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