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假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g’’(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0。证明: 在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使。
假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g’’(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0。证明: 在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使。
admin
2018-12-19
49
问题
假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g’’(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0。证明:
在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使
。
选项
答案
构造函数F(x)=f(x)g’(x)一g(x)f’(x),由题设条件得函数F(x)在区间[a,b]上是连续的,在区间(a,b)上是可导的,且满足F(a)=F(b)=0。根据罗尔定理可知,存在点ξ∈(a,b),使得F’(ξ)=0。即 f(ξ)g’’(ξ)—f’’(ξ)g(ξ)=0, 因此可得 [*]
解析
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考研数学二
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