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  3. 给定x0，设x1=cosx0，x2=cos(cosx0)，…xn=，则{xn}收敛．

给定x0，设x1=cosx0，x2=cos(cosx0)，…xn=，则{xn}收敛．

admin2022-10-31  31
问题 给定x0，设x1=cosx0，x2=cos(cosx0)，…xn=，则{xn}收敛．
选项
答案不妨设0≤x1≤1．则0≤xn≤1，n=2，…．由于cosx在[0．π／2]内递减．所以{xn}不是单调数列，故分别讨论单调奇子列{x2n-1}与单调偶子列{x2n}． 若x1≤x3，则 x4-x2=cosx3-cosx1=[*] 从而x4≤x2．又 x5-x3=cosx4-cosx2=[*] 故x5≤x3． 依次递推，知{x2n-1}单调递增，{x2n}单调递减． 若x1≥x3，则可证得{x2n-1}单凋递减，{x2n}单调递增． 故{x2n}与{x2n-1}都是单调有界数列，因而都有极限．设[*]x2n-α，[*]x2n-1=β [*] 由x-cos(cosx)零点的唯一性知α=β．所以，{x2n}与{x2n-1}收敛于同一极限，即xn收敛．
解析
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