设f(x)在[a,b]上连续,且对[f(x)+f(y)],求f(x).

admin2017-07-26  30

问题 设f(x)在[a,b]上连续,且对[f(x)+f(y)],求f(x).

选项

答案由[*][f(x)+f(y)],可得2∫xyf(t)dt=(y—x)[f(x)+f(y)]. 令x=a,得2∫ayf(t)dt=(y—a)[f(a)+f(y)]. 由变限积分的可导性知,f(y)可导,两边对y求导得 2f(y)=g(a)+f(y)+(y一a)f’(y). 分离变量得 [*] 积分得 ln[f(y)一f(a)]=ln(y一a)+lnc,即f(y)一f(a)=c(y一a). 令y=b,得c=[*](x一a)+f(a).

解析 建立关于f(x)的微分方程,解方程可求出f(x).
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