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η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，…，ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系．证明： η*，ξ1，…，ξn-r线性无关；
η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，…，ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系．证明： η*，ξ1，…，ξn-r线性无关；
admin
2016-05-31
24
问题
η
*
是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ
1
，…，ξ
n-r
是对应的齐次线性方程组的一个基础解系．证明：
η
*
，ξ
1
，…，ξ
n-r
线性无关；
选项
答案
假设η
*
，ξ
1
，…，ξ
n-r
线性相关，则存在不全为0的数c
0
，c
1
，…，c
n-r
使得下式成立 c
0
η
*
+c
1
ξ
1
+…+c
n-r
ξ
n-r
=0 (1) 用矩阵A左乘上式两边，得 0=A(c
0
η
*
+c
1
ξ
1
+…+c
n-r
ξ
n-r
)=c
0
Aη
*
+c
1
Aξ
1
+…+c
n-r
Aξ
n-r
=c
0
b，其中b≠0，则由上式c
0
=0，于是(1)式变为 c
1
ξ
1
+…+c
n-r
ξ
n-r
=0，ξ
1
，…，ξ
n-r
是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故ξ
1
，…，ξ
n-r
线性无关，因此c
1
=c
2
=…= c
n-r
=0，与线性相关矛盾． 因此由定义知，η
*
，ξ
1
，…，ξ
n-r
线性无关．
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/TmxRFFFM
0
考研数学三
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