设f(x)是可导的函数，对于任意的实数s、t，有f(s+t)=f(s)+f(t)+2st，且f’(0)=1．求函数f(x)的表达式．

admin2017-05-31 31

问题设f(x)是可导的函数，对于任意的实数s、t，有f(s+t)=f(s)+f(t)+2st，且f’(0)=1．求函数f(x)的表达式．

选项

答案因为对任意的实数s、t，有f(s+t)=f(s)+f(t)+2st．令s=0，t=0，则f(0)= 0，f’(0)=1．将原式变形，得[*] 令t→0，得f’(s)=f’(0)+2s=1+2s．解此微分方程，得f(s)=s+s²+c，其中c为任意常数．再由条件f(0)=0，得c=0．于是，f(x)=x+x²．

解析

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考研数学一

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