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  3. 设A，B分别为m×b及n×s阶矩阵，且AB=O．证明：r(A)+r(B)≤n

设A，B分别为m×b及n×s阶矩阵，且AB=O．证明：r(A)+r(B)≤n

admin2020-03-16  21
问题 设A，B分别为m×b及n×s阶矩阵，且AB=O．证明：r(A)+r(B)≤n
选项
答案令B=(β1，β2，…，βs)，因为AB=O，所以B的列向量组β1，β2，…，βs为方程组AX=0的一组解，而方程组AX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为N-r(A)，所以向量组β1，β2，…，βs的秩不超过n-r(A)，又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等，因此r(b)≤n-r(A)，即r(A)+r(B)≤n．
解析
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考研数学二

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