2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，证明 ∫abf(x)dx=(b—a)[f(a)+f(b)]+∫abf″(x)(x—a)(x—b)dx。

设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，证明 ∫abf(x)dx=(b—a)[f(a)+f(b)]+∫abf″(x)(x—a)(x—b)dx。

admin2020-03-05  16
问题 设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，证明
∫abf(x)dx=(b—a)[f(a)+f(b)]+∫abf″(x)(x—a)(x—b)dx。
选项
答案连续利用分部积分法有 ∫abf(x)dx=∫abf(x)d(x—b)=f(a)(b—a)—∫abf′(x)(x—b)d(x—a) =f(a)(b—a)+∫ab(x—a)d[f′(x)(x—b)] =f(a)(b—a)+∫ab(x—a)df(x)+∫abf″(x)(x—a)(x—b)dx =f(a)(b—a)+f(b)(b—a)—∫abf(x)dx+∫abf″(x)(x—a)(x—b)dx， 移项并整理得∫abf(x)dx=[*](b—a)[f(a)+f(b)]+[*]∫abf″(x)(x—a)(x—b)dx。
解析
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考研数学一

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