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  3. 设A为2阶矩阵，α为非零向量，但不是A的特征向量，且满足A2α+Aα－2α=0，试证 A可相似对角化．

设A为2阶矩阵，α为非零向量，但不是A的特征向量，且满足A2α+Aα－2α=0，试证 A可相似对角化．

admin2019-12-26  35
问题 设A为2阶矩阵，α为非零向量，但不是A的特征向量，且满足A2α+Aα－2α=0，试证
A可相似对角化．
选项
答案由ATα+Aα－2α=0[*](AT+A－2E)α=0，因为α≠0，所以齐次线性方程组(AT+A－2E)x=0有非零解，于是有 [*] 若|A+2E|≠0，则有(A+2E)(A－E)α=0[*](A－E)α=0[*]Aα=α，即α是A的特征向量，这与已知矛盾，所以 |A+2E|=0；同理可证|A－E|=0，所以A有两个不同的特征值λ1=－2，λ2=1，故A可相似对角化．
解析
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考研数学三

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