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  3. 设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得

设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得

admin2020-05-02  16
问题 设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得
选项
答案令F(x)=(b－x)f(x)+f(a)x．因为f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，所以F(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，F(a)=F(b)=bf(a)．由罗尔定理知，在(a，b)内至少存在一点ξ，使得F′(ξ)=0．而 F′(x)=－f(x)+(b－x)f′(x)+f(a) 所以－f(ξ)+(b－ξ)f′(ξ)+f(a)=0．由ξ∈(a，b)，得b－ξ≠0，因此有f′(ξ)=[*]
解析
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考研数学一

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