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设α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt是两个线性无关的n维向量组，证明：向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性相关的充分必要条件是存在非0向量γ，γ既可由α1，α2，…，αs线性表出，也可由卢β1，β2，…，βt线性表出．
设α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt是两个线性无关的n维向量组，证明：向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性相关的充分必要条件是存在非0向量γ，γ既可由α1，α2，…，αs线性表出，也可由卢β1，β2，…，βt线性表出．
admin
2018-06-12
51
问题
设α
1
，α
2
，…，α
s
和β
1
，β
2
，…，β
t
是两个线性无关的n维向量组，证明：向量组α
1
，α
2
，…，α
s
，β
1
，β
2
，…，β
t
线性相关的充分必要条件是存在非0向量γ，γ既可由α
1
，α
2
，…，α
s
线性表出，也可由卢β
1
，β
2
，…，β
t
线性表出．
选项
答案
必要性．因为α
1
，α
2
，…，α
s
，β
1
，β
2
，…，β
t
线性相关，故存在不全为0的k
1
，k
2
，…，k
s
，l
1
，l
2
，…，l
t
使得k
1
α
1
＋k
2
α
2
＋…＋k
s
α
s
＋l
1
β
1
＋l
2
β
2
＋…＋l
t
β
t
＝0，令 γ＝k
1
α
1
＋k
2
α
2
＋…＋k
s
α
s
＝－l
1
β
1
－l
2
β
2
－…－l
t
β
t
， 则必有γ≠0．否则 k
1
α
1
＋k
2
α
2
＋…＋k
s
α
s
＝0 且－l
1
β
1
－l
2
β
2
－…－l
t
β
t
＝0． 由于α
1
，α
2
，…，α
s
与β
1
，β
2
，…，β
t
均线性无关，故k
1
＝k
2
＝…＝k
s
＝0，l
1
＝l
2
＝…＝l
t
＝0，这与k
1
，k
2
，…，k
s
，l
1
，l
2
，…，l
t
不全为0相矛盾．从而有非0的γ，它既可由α
1
，α
2
，…，α
s
线性表出，也可由β
1
，β
2
，…，β
t
线性表出． 充分性．由于有非0的γ使 γ＝χ
1
α
1
＋χ
2
α
2
＋…χ
s
α
s
且γ＝y
1
β
1
＋y
2
β
2
＋…＋y
t
β
t
， 那么χ
1
，χ
2
，…，χ
s
与y
1
，y
2
，…，y
t
必不全为0．从而 χ
1
α
1
＋χ
2
α
2
＋…＋χ
s
α
s
－y
1
β
1
－y
2
β
2
－…－y
t
β
t
＝0， 即α
1
，α
2
，…，α
s
，β
1
，β
2
，…，β
t
，线性相关．
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/TN2RFFFM
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