设齐次线性方程组(Ⅰ)为又已知齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为α1=(0，1，1，0)T，α2=(-1，2，2，1)T．试问a，b为何值时，(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解?并求出所有的非零公共解．

admin2016-01-23 44

问题设齐次线性方程组(Ⅰ)为

又已知齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为α₁=(0，1，1，0)^T，α₂=(-1，2，2，1)^T．试问a，b为何值时，(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解?并求出所有的非零公共解．

选项

答案由齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系可得 (α₁，α₂)=[*] 以x₃，x₄为自由变量，则上述基础解系可由以下等价方程组得到 [*] 去掉x₃，x₄两个自由变量的恒等式方程，可得以α₁，α₂为基础解系的一个齐次线性方程组为[*] 将题设条件中的方程组(I)与上述①式中的方程组联立，得 [*] 参数a，b的值只要使得方程组②有非零解，并

解析本题考查求两个齐次线性方程组的非零公共解，其一般方法有联立法和代入法．下面以联立法解之，所以要先把方程组(Ⅱ)由其基础解系“还原”出来．
注：由方程组(Ⅱ)的基础解系“还原”方程组时，其结果形式不唯一．请读者思考，若以x₂，x₄或x₁，x₃为自由变量，方程组(Ⅱ)的形式如何?

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考研数学一

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