设A为四阶实对称矩阵，且A2+2A-3E=O，若r(A-E)=1，则二次型xTAx在正交变换下的标准形为( )

admin2022-09-14 30

问题设A为四阶实对称矩阵，且A²+2A-3E=O，若r(A-E)=1，则二次型x^TAx在正交变换下的标准形为( )

选项 A、y₁²+y₂²+y₃²-y₄²。
B、y₁²+y₂²+y₃²-3y₄²。
C、y₁²-3y₂²-3y₃²-3y₄²。
D、y₁²+y₂²-3y₃²-3y₄²。

答案B

解析由A²+2A-3E=O有(A-E)(A+3E)=O，从而
r(A-E)+r(A+3E)≤4。
又因为 r(A-E)+r(A+3E)=r(E-A)+r(A+3E)
≥r[(E-A)+(A+3E)]
=r(4E)=4，
所以r(A-E)+r(A+3E)=4，则r(A+3E)=3。
于是齐次线性方程组(A-E)x=0与(A+3E)x=0分别有三个和一个线性无关的解，即λ=1与λ=-3分别是矩阵A的三重和一重特征值。故选B。

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