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设A为3阶矩阵,α1,α2为A的分别属于特征值-1,1的特征向量,向量α3满足Aα3=α2+α3. (1)证明α1,α2,α3线性无关; (2)令P=(α1,α2,α3),求P-1AP.
设A为3阶矩阵,α1,α2为A的分别属于特征值-1,1的特征向量,向量α3满足Aα3=α2+α3. (1)证明α1,α2,α3线性无关; (2)令P=(α1,α2,α3),求P-1AP.
admin
2014-01-26
40
问题
设A为3阶矩阵,α
1
,α
2
为A的分别属于特征值-1,1的特征向量,向量α
3
满足Aα
3
=α
2
+α
3
.
(1)证明α
1
,α
2
,α
3
线性无关;
(2)令P=(α
1
,α
2
,α
3
),求P
-1
AP.
选项
答案
(1)令 x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=0. ① 因为Aα
1
1=-α
1
, Aα
2
=α
2
, Aα
3
=α
2
+α
3
, 用A左乘①得 -x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=0 ② ①-②得 2x
1
α
1
-x
3
α
2
=0 ③ 因为α
1
,α
2
分别为A的不同特征值对应的特征值向量,所以线性无关,于是x
1
=x
3
=0. 代入①得x
2
口2α
2
=0,又α
2
≠0,故x
2
=0.即有α
1
,α
2
,α
3
线性无关. (2)由 AP=A(α
1
,α
2
,α
3
)=(Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
)=(-α
1
,α
2
,α
2
+α
3
) [*] 由(1)知P可逆,故P
-1
AP=[*]
解析
[分析] 一个向量组的线性无关性常用定义证明,而且根据本题的条件容易想到用A左乘等式两边.
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/T6DRFFFM
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考研数学二
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