2. 考研
  3. 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=2α1+α2－α3，Aα2=α1+2α2+α3， Aα3=－α1+α2+2α3． 求A的特征值，并求可逆矩阵P，使P－1AP为对角矩阵．

设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=2α1+α2－α3，Aα2=α1+2α2+α3， Aα3=－α1+α2+2α3． 求A的特征值，并求可逆矩阵P，使P－1AP为对角矩阵．

admin2017-06-14  50
问题 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=2α1+α2－α3，Aα2=α1+2α2+α3，  Aα3=－α1+α2+2α3．
求A的特征值，并求可逆矩阵P，使P－1AP为对角矩阵．
选项
答案记 [*] 得矩阵B，也即矩阵A的特征值为λ1=λ2=3，λ3=0． 对应于λ1=λ2=3，解(3E－B)x=0，得基础解系为ξ1=(1，1，0)T，ξ2=(－1，0，1)T； 对应于λ3=0，解(0E—B)x=0，得ξ3=(0，1，1)T． 令P2=[ξ1，ξ2，ξ3]，则P2－1BP2 = [*] 因P2－1BP2=P2－1P1－1AP1P2=(P1P2)－1A(P1P2)= [*] 记矩阵P=P1P2= [α1，α2，α3][*] =[α1+α2，－α1+α3，α2+α3] 则P即为所求矩阵，且[*]
解析
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考研数学一

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