2. 考研
  3. 设f(x)是连续函数，且，则[ ]．

设f(x)是连续函数，且，则[ ]．

admin2014-11-07  30
问题 设f(x)是连续函数，且，则[    ]．
选项 A、当x∈(－1，1)时，f(x)＞0
B、当x∈(－1，1)时，f(x)＜0
C、在(－1，1)内f(x)至少有一个零点
D、A、B、C均不正确
答案C
解析 由积分中值定理，存在ξ1∈[－1，0]使得
    xf(x)dx＝ξ1f(ξ1)，
因 xf(x)dx＞0，，所以，ξ1≠0，所以存在ξ1∈[－1，0)使得
    xf(x)dx＝ξ1f(ξ1)＞0，
于是得f(ξ1)＜0．同理存在ξ2∈(0，1]使f(ξ2)＞0，由连续函数的零点存在定理得存在η∈(ξ1，ξ2)使得f(η)＝0．
    故选C．
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