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  3. 设f(x)为连续函数，F(x)是f(x)的一个原函数，则下列命题错误的是（ ）。

设f(x)为连续函数，F(x)是f(x)的一个原函数，则下列命题错误的是（ ）。

admin2021-07-15  39
问题 设f(x)为连续函数，F(x)是f(x)的一个原函数，则下列命题错误的是（     ）。
选项 A、若F(x)为奇函数，则f(x)必定为偶函数
B、若f(x)为奇函数，则F(x)必定为偶函数
C、若f(x)为偶函数，则F(x)必定为奇函数
D、若F(x)为偶函数，则f(x)必定为奇函数
答案C
解析 若f(x)为奇函数，即F(－x)=－F(x)，两端关于x求导，可得
－F’(－x)=－F’(x)
即F’(－X)=F’(x)
从而知f(－x)=f(x)，即f(x)为偶函数，可知A正确。
由题设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的一个原函数，因此F’(x)=f(x),由于连续的奇函数的所有原函数都是偶函数，所以B正确。
若取f(x)=x2,则f(x)为偶函数，但是（x3+1)’=x2,表明x3+1为f(x)=x2的一个原函数，此函数x3+1不是奇函数，表明C不正确。
若F(x)为偶函数，即F(－x)=F(x)，两端关于x求导，可得－F’(－x)=F’(x),即－f(－x)=f(x),可知f(x)为奇函数，因此D正确，故选C.
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考研数学二

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