2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．证明 (1)存在c∈(0，1)，使得f(c)=； (2)存在ξ≠η∈(0，1)，使得=2．

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．证明 (1)存在c∈(0，1)，使得f(c)=； (2)存在ξ≠η∈(0，1)，使得=2．

admin2016-11-03  25
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．证明
(1)存在c∈(0，1)，使得f(c)=；
(2)存在ξ≠η∈(0，1)，使得=2．
选项
答案(1)令F(x)=f(x)一1／2，则 F(0)=f(0)一1／2=－1／2＜0， F(1)=f(1)一1／2=1—1／2=1／2＞0． 由零点(介值)定理知，存在c∈(0，1)，使F(c)=0，即f(c)=1／2． (2)在[0，c]及[c，1]上对f(x)分别使用拉格朗日中值定理得到：存在ξ∈(0，c)，η∈(c，1)，使得 [*] 于是[*]=2c+2(1一c)=2．得证． 注意 上面利用(1)的结论证明了(2)的结论，但(1)的结论也可由(2)的结论推出．事实上，由 [*] 得到 2f2(c)一2cf(c)一f(c)+c=f(c)[2f(c)一1]一c[2f(c)一1] =[f(c)一c][2f(c)一1]=0． 因f(x)不一定满足f(x)=x，故有2f(c)一1=0，即f(c)=1／2．
解析 (1)设F(x)=f(x)一1／2，对F(x)在[0，1]上使用零点定理即可．
(2)应利用(1)中结论，用C将[0，1]分为[0，c]，[c，1]两个子区间，且在这两个不同的区间上使用拉格朗日中值定理．
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