设f(x)在(-∞,+∞)连续,存在极限证明: 设A<B,则对μ∈(A,B),ξ∈(-∞,+∞),使得f(ξ)=μ;

admin2019-02-20  38

问题 设f(x)在(-∞,+∞)连续,存在极限证明:
设A<B,则对μ∈(A,B),ξ∈(-∞,+∞),使得f(ξ)=μ;

选项

答案【证法一】 利用极限的性质转化为有界区间的情形. (I)由[*]及极限的不等式性质可知,[*]X1使得f(X1)<μ. 由[*]可知,[*]X2>X1使得f(X2)>μ.因f(x)在[X1,X2]连续,f(X1)<μ<f(X2),由连续函数介值定理知[*]ξ∈(X1,X2)[*](-∞,+∞),使得f(ξ)=μ. 【证法二】 利用变量替换与构造辅助函数的方法转化为有界区间的情形. 令t=arctanx,即x=tant,x∈(-∞,+∞)[*]再令 [*] 由复合函数的连续性知F(t)=f(tant)在[*]连续.又 [*] 同理 [*] 因此F(t)在[*]连续. 因[*]由连续函数介值定理知存在[*]使得F(t*)=μ,令ξ=tant*,则ξ∈(-∞,+∞),f(ξ)=f(tant*)=F(t*)=μ.

解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/SJBRFFFM
0

最新回复(0)