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  3. 设α，β为四维非零的正交向量，且A=αβT，则A的线性无关的特征向量个数为( )

设α，β为四维非零的正交向量，且A=αβT，则A的线性无关的特征向量个数为( )

admin2016-03-18  25
问题 设α，β为四维非零的正交向量，且A=αβT，则A的线性无关的特征向量个数为(     )
选项 A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
答案C
解析 令AX=λX，则A2X=λ2X，因为α，Jβ正交，所以αTβ=β2α=0，A2=αβT.αβT=0于是λ2X=0，故λ1=λ2=λ3=λ4=0，因为α，β为非零向量，所以A为非零矩阵，故r(A)≥1；又r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，所以r(A)=1
因为4－r(0E－A)=4－r(A)=3，所以A的线性无关的特征向量是3个，选(C)
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考研数学一

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