设α1,α2,α3,α4为4维列向量组,其中α1,α2,α1线性尤关,α4=α1+α2+2α3,记A=(α1-α2,α2+α3,-α1+α2+α3),且方程组Ax=α4有无穷多解,求: (1)常数a的值; (2)方程组Ax=α4的通解。

admin2021-04-16  45

问题 设α1,α2,α3,α4为4维列向量组,其中α1,α2,α1线性尤关,α412+2α3,记A=(α12,α23,-α123),且方程组Ax=α4有无穷多解,求:
    (1)常数a的值;
    (2)方程组Ax=α4的通解。

选项

答案(1)由题设,x为3维列向量,设x=(x1,x2,x3)T,则 x112)+x223)+x31+aα23)-α12+2α3,整理得(x1-x3-1)α1+(-x1+x2+ax3-1)α3+(x2+x3-2)α3=0。 由α1,α2,α3线性无关,故 [*] (2)由题设,方程组(*)有无穷多解,于是记(B|β)=[*] 由r(B)=r(B|β)<3,有2-a=0,即a=2,(2)由(1)得Ax=α4的同解方程组为[*]故其通解为(x1,x2,x3)T=k(1,-1,1)T+(1,2,0)T,k是任意常数。

解析
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