2. 考研
  3. 求下列微分方程的通解： (1)y〞＋2yˊ－3y＝e－3x； (2)y〞－5yˊ＋4y＝x2－2x＋1； (3)y〞－3yˊ＝2e2xsinx； (4)y〞－2yˊ＋y＝x(1＋2ex)； (5)y〞＋4y＝xcosx； (6)y〞－y＝

求下列微分方程的通解： (1)y〞＋2yˊ－3y＝e－3x； (2)y〞－5yˊ＋4y＝x2－2x＋1； (3)y〞－3yˊ＝2e2xsinx； (4)y〞－2yˊ＋y＝x(1＋2ex)； (5)y〞＋4y＝xcosx； (6)y〞－y＝

admin2011-11-19  69
问题 求下列微分方程的通解：
(1)y〞＋2yˊ－3y＝e－3x；    (2)y〞－5yˊ＋4y＝x2－2x＋1；
(3)y〞－3yˊ＝2e2xsinx；    (4)y〞－2yˊ＋y＝x(1＋2ex)；
(5)y〞＋4y＝xcosx；    (6)y〞－y＝sin2x．
选项
答案(1)特征方程为r2＋2r－3＝0，则特征根r1＝1，r2＝－3，故齐次方程通解为y＝C1ex＋C2e－3x．设原方程一个特解为y*＝Axe－3x，则y*ˊ＝(A－3Ax)e－3x，y*〞＝(－6A＋9Ax)e－3x，代入原方程得 y〞*＋2yˊ*－3y* ＝(－6A＋9Ax＋2A－6Ax－3Ax)e－3x ＝－4Ae－3x ＝e－3x． 故A＝－1／4，y*＝－x／4e－3x． 从而原方程的通解为y＝C1ex＋C2e－3x－x／4e－3x． (2)特征方程为r2－5r＋4＝0，特征根r1＝4，r2＝1，故齐次方程通解为y＝C1ex＋C2e4x． 设原方程的一个特解y*＝ax2＋bx＋c，则y*ˊ＝2ax＋b，y*〞＝2a，代入原方程得 2a－5(2ax＋b)＋4(ax2＋bx＋c) ＝4ax2＋(4b－lOa)x＋4c＋2a－5b ＝x2－2x＋1． [*]
解析
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考研数学三

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