2. 考研
  3. (1)设f(χ)在[0，2]上可导，且｜f′(χ)｜≤M，又f(χ)在(0，2)内至少有一个零点，证明：｜f(0)｜＋｜f(2)｜≤2M． (2)设f(χ)在[a，b]上二阶可导，｜f〞(χ)｜≤M，又f(χ)在(a，b)内能取到最小值，证明：｜f

(1)设f(χ)在[0，2]上可导，且｜f′(χ)｜≤M，又f(χ)在(0，2)内至少有一个零点，证明：｜f(0)｜＋｜f(2)｜≤2M． (2)设f(χ)在[a，b]上二阶可导，｜f〞(χ)｜≤M，又f(χ)在(a，b)内能取到最小值，证明：｜f

admin2019-08-23  39
问题 (1)设f(χ)在[0，2]上可导，且｜f′(χ)｜≤M，又f(χ)在(0，2)内至少有一个零点，证明：｜f(0)｜＋｜f(2)｜≤2M．
    (2)设f(χ)在[a，b]上二阶可导，｜f〞(χ)｜≤M，又f(χ)在(a，b)内能取到最小值，证明：｜f′(a)｜＋｜f′(b)｜≤M(b－a)．
选项
答案(1)由题意，存在c∈(0，2)，使得f(c)＝0， 由拉格朗日中值定理，存在ξ1∈(0，c)，ξ2(c，2)，使得 f(c)＝f(0)＝f′(ξ1)c， f(2)－f(c)＝f′(ξ2)(2－c)， 于是｜f(0)｜＝f′｜(ξ1)｜c≤Mc，｜f(2)｜＝｜f′(ξ2)｜(2－c)≤M(2－c)， 故｜f(0)｜＋｜f(2)｜≤2M． (2)由题意，存在c∈(a，b)，使得f(c)为最小值，从而f′(c)＝0， 由拉格朗日中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得 f′(c)－f′(a)＝f〞(ξ1)(c－a)， f′(b)－f′(c)＝f〞(ξ2)(b－c)， 于是｜f′(a)｜＝｜f〞(ξ1)｜(c－a)≤M(c－a)， ｜f′(b)｜＝｜f〞(ξ2)｜(b－c)≤M(b－c)， 故｜f′(a)｜＋｜f′(b)｜≤M(b－a)．
解析
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考研数学二

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