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设f(x)连续,且满足f(x)=(x-π)2-∫0x-πtf(x-t)dt,求f(x)。
设f(x)连续,且满足f(x)=(x-π)2-∫0x-πtf(x-t)dt,求f(x)。
admin
2020-05-16
25
问题
设f(x)连续,且满足f(x)=(x-π)
2
-∫
0
x-π
tf(x-t)dt,求f(x)。
选项
答案
令s=x-t,得f(x)=(x-π)
2
-∫
π
x
(x-s)f(s)ds,即 f(x)=(x-π)
2
-x∫
π
x
f(s)ds+∫
π
x
sf(s)ds, (1) 现需要把它转换成微分方程问题。(1)式两边求导得 f’(x)=2(x-π)-∫
π
x
f(s)ds, (2) 又(1)式中令x=π得f(π)=0。 再对(2)式求导得 f"(x)+f(x)=2。 在(2)式中令x=π得f’(π)=0。 于是问题转化为初值问题[*]其中y=f(x)。 这是二阶线性常系数微分方程,显然有常数特解y
*
=2,于是通解为 y=C
1
cosx+C
2
sinx+2。 [*] y=f(x)=2cosx+2。
解析
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考研数学三
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