设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且,f(1)=0.证明:至少存在一点ξ∈(0,1),使(1+ξ2)(arctanξ)f’(ξ)=-1.

admin2021-02-25  39

问题 设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且,f(1)=0.证明:至少存在一点ξ∈(0,1),使(1+ξ2)(arctanξ)f’(ξ)=-1.

选项

答案令F(x)=ef(x)arctanx,x∈[0,1],则F(1)=π/4. 由定积分中值定理,存在x0∈(0,2/π),使(ef(x0)arctanx0) 2/π=1/2,即F(x0)=F(1) 显然F(x)在[x0,1]上满足罗尔定理条件,故至少存在一点[*],使f’(ξ)=0, 即 (1+ξ2)(arctanξ)f’(ξ)=-1.

解析 本题考查中值问题.根据所证结论的形式,应考虑使用罗尔定理,题设条件由定积分形式给出,提示辅助函数应为被积函数.
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