2. 考研
  3. 设函数φ(x)在(一∞，+∞)连续，是周期为1的周期函数，∫01φ(x)dx=0，函数f(x)在[0，1]有连续导数，求证： (Ⅰ)∫0xφ(t)dt是以1为周期的周期函数且在(一∞，+∞)有界． (Ⅱ)令an=∫01f(x)φ(nx)dx

设函数φ(x)在(一∞，+∞)连续，是周期为1的周期函数，∫01φ(x)dx=0，函数f(x)在[0，1]有连续导数，求证： (Ⅰ)∫0xφ(t)dt是以1为周期的周期函数且在(一∞，+∞)有界． (Ⅱ)令an=∫01f(x)φ(nx)dx

admin2017-11-23  23
问题 设函数φ(x)在(一∞，+∞)连续，是周期为1的周期函数，∫01φ(x)dx=0，函数f(x)在[0，1]有连续导数，求证：
    (Ⅰ)∫0xφ(t)dt是以1为周期的周期函数且在(一∞，+∞)有界．
    (Ⅱ)令an=∫01f(x)φ(nx)dx，则an=一∫01f’(x)[∫0xφ(nt)dt]dx
    (Ⅲ)级数收敛．
选项
答案(Ⅰ)考察 ∫0x+1φ(t)dt一∫0x(t)dt=∫xx+1φ(t)dt=∫01φ(t)dt=0 (因为(∫xx+1φ(t)dt)’=φ(x+1)一φ(x)=0，∫xx+1φ(t)dt为常数) 因此∫0xφ(t)dt以1为周期． 因为∫0xφ(t)dt在(一∞，+∞)连续=>∫0xφ(t)dt在[0，1]有界，又它以1为周期=>∫0xφ(t)dt 在(一∞，+∞)有界． (Ⅱ)按要证明的结论提示我们，用分部积分法改写an： an=∫01f(x)d(∫0xφ(nt)dt) =(f(x)∫0xφ(nt)dt)｜01一∫0xf’(x)(∫0xφ(nt)dt)dx =一∫0xf’(x)(∫0xφ(nt)dt)dx 其中 [*] (Ⅲ)先估计an． ｜an｜≤｜∫01f’(x)(∫0xφ(nt)dt)dx｜ 因f’(x)在[0，1]连续，=>｜f’(x)｜≤M0(x∈[0，1])，又因 ｜∫0xφ(nt)dt｜=[*]｜∫0nxφ(s)ds｜ ∫0xφ(s)ds在(一∞，+∞)有界(题(Ⅰ)的结论)=> ｜∫0xφ(nt)dt｜≤[*] M0，M2，为某常数． 于是 [*]
解析
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考研数学一

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