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  3. 根据k的不同取值情况，讨论方程x3－3x＋k＝0实根的个数。

根据k的不同取值情况，讨论方程x3－3x＋k＝0实根的个数。

admin2019-12-06  25
问题 根据k的不同取值情况，讨论方程x3－3x＋k＝0实根的个数。
选项
答案令 f(x)＝x3－3x+k，x∈R， 则f’(x)＝3x2－3＝0，解得驻点x＝﹣1，x＝1，函数的单增区间为(﹣∞，﹣1)，(1，﹢∞)，单减区间为[﹣1，1]，因此该函数至多有三个根。 因为函数f(x)连续，根据零点定理， f(﹣∞)<0，f(﹣1)＝2＋k，f(1)＝k－2，f(﹢∞)﹥0。 当k﹤﹣2时，f(﹣1)﹤0，f(1)﹤0，函数在(1，﹢∞)内存在唯一一个根； 当﹣2﹤k﹤2时，f(﹣1)﹥0，f(1)﹤0，函数在每个单调区间有一根，共有三个根； 当k﹥2时，f(﹣1)﹥0，f(1)﹥0，函数在(﹣∞，﹣1)内存在唯一一个根； 当k＝﹣2时，f(﹣1)＝0，f(1)﹤0，方程在x＝﹣1处和(1，﹢∞)内各有一个根，共两个根； 当k＝2时，f(﹣1)﹥0，f(1)＝0，方程在x＝1处和(﹣∞，﹣1)内各有一个根，共两个根。 综上所述，k﹤﹣2或k﹥2，方程有且仅有一个根；﹣2﹤k﹤2，方程有三个根；k＝±2，方程有两个根。
解析
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考研数学二

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