2. 考研
  3. [2013年] 已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=－xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件y∣x=0=0，y′∣x=0=1的解为y=________．

[2013年] 已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=－xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件y∣x=0=0，y′∣x=0=1的解为y=________．

admin2021-01-19  29
问题 [2013年]  已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=－xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件y∣x=0=0，y′∣x=0=1的解为y=________．
选项
答案 利用二阶常系数线性微分方程y＂+Py′+qy=f(x)解的性质和结构求之． 先由给出的3个解找出对应的齐次线性微分方程的两个线性无关的解．事实上，利用线性微分方程的性质知，y1一y3=e3x，y2－y3=ex是对应齐次线性微分方程的两个线性无关的解，因而该齐次线性微分方程的通解为Y=C1e3x+C2ex．又y*=一xe2x显然为该非齐次线性微分方程的特解，则由常系数线性微分方程解的结构知，其通解为 y=Y+y*=C1e3x+C2ex一xe2x其中C1，C2均为任意常数． 由y∣x=1=0，y′∣x=1=1得到C1+C2=0，3C1+C2一l=1，解得C1=l，C2=一1． 故满足初始条件的解为 y=e3x一ex一xe2x．
解析
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考研数学二

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