[2013年] 已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=－xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件y∣x=0=0，y′∣x=0=1的解为y=________．

admin2021-01-19 33

问题 [2013年] 已知y₁=e^3x一xe^2x，y₂=e^x一xe^2x，y₃=－xe^2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件y∣_x=0=0，y′∣_x=0=1的解为y=________．

选项

答案利用二阶常系数线性微分方程y＂+Py′+qy=f(x)解的性质和结构求之．先由给出的3个解找出对应的齐次线性微分方程的两个线性无关的解．事实上，利用线性微分方程的性质知，y₁一y₃=e^3x，y₂－y₃=e^x是对应齐次线性微分方程的两个线性无关的解，因而该齐次线性微分方程的通解为Y=C₁e^3x+C₂e^x．又y^*=一xe^2x显然为该非齐次线性微分方程的特解，则由常系数线性微分方程解的结构知，其通解为 y=Y+y^*=C₁e^3x+C₂e^x一xe^2x其中C₁，C₂均为任意常数．由y∣_x=1=0，y′∣_x=1=1得到C₁+C₂=0，3C₁+C₂一l=1，解得C₁=l，C₂=一1．故满足初始条件的解为 y=e^3x一e^x一xe^2x．

解析

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考研数学二

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[2013年] 已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=－xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件y∣x=0=0，y′∣x=0=1的解为y=________．

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