设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.试证: 对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.

admin2019-03-22  38

问题 设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.试证:
对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.

选项

答案证一 辅助函数F(x)可用凑导数法如下求出.将ξ改为x,得 {f’(x)-1-λ[f(x)-x])|x=ξ={f’(x)-x’-λ[f(x)-x}]|x=ξ ={[f(x)-x]’-λ[f(x)-x]}|x=ξ=0. 在上式两端乘以e-λx,即得 {e-λx[f(x)-x]’+(e-λx)’[f(x)-x]}|x=ξ={e-λx[f(x)-x]}’|x=ξ=F’(x)|x=ξ=0. 于是有 F(x)=e-λx[f(x)-x]. 因F(x)在[0,η]上连续,在(0,η)内可导,且 F(0)=0, F(η)=e-λx[f(η)-η]=0, 由罗尔定理知,存在ξ∈(0,η)使F’(ξ)=0,即 e-λx{f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]-1}=0, 亦即f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1. 证二 下面用积分法(常数变易法)即解微分方程的方法求出F(x).为此将ξ改为x,由f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1得到f’(x)-λf(x)=1-λx此为一阶线性非齐次方程,由其求解公式(1.6.1.1)式, [*] 得 [*] 解出C,得C=e-λx[f(x)-x],则F(x)=e-λx[f(x)-x].下同证一(略).

解析
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