2. 考研
  3. 设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(Ⅰ)为 (Ⅱ)有一个基础解系(0，1，1，0)T，(－1，2，2，1)T．求(Ⅰ)和(Ⅱ)的全部公共解．

设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(Ⅰ)为 (Ⅱ)有一个基础解系(0，1，1，0)T，(－1，2，2，1)T．求(Ⅰ)和(Ⅱ)的全部公共解．

admin2017-06-08  31
问题 设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(Ⅰ)为

(Ⅱ)有一个基础解系(0，1，1，0)T，(－1，2，2，1)T．求(Ⅰ)和(Ⅱ)的全部公共解．
选项
答案一种思路是构造一个线性方程组(Ⅲ)，使得它也以η1，η2为基础解系．于是(Ⅲ)和(Ⅱ)同解，从而(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解也就是(Ⅰ)和(Ⅲ)的公共解，可以解(Ⅰ)和(Ⅲ)的联立方程组来求得．例如(Ⅲ)可以是： [*] 这种思路的困难在于构造方程组(Ⅲ)，在考场上不是每个考生都能很顺利完成的． 另一种思路为：(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解都必定是(Ⅱ)的解，因此有c1η1+c2η2的形式．它又满足(Ⅰ)，由此可决定c1与c2应该满足的条件． 具体计算过程：将c1η1+c2η2=(－c2，c1+2c2，c1+2c2，c2)T，代入(Ⅰ)，得到 [*] 解出c1+c2=0．即当c1+c2=0时c1η1+c2η2也是(Ⅰ)的解．于是(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解为： c(η1－η2)，其中c可取任意常数．
解析
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考研数学二

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