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设函数f(x)=则下列结论正确的是
设函数f(x)=则下列结论正确的是
admin
2019-01-29
21
问题
设函数f(x)=
则下列结论正确的是
选项
A、f(x)有间断点
B、f(x)在(—∞,+∞)上连续,但在(—∞,+∞)内有不可导的点
C、f(x)在(—∞,+∞)内处处可导,但f′(x)在(—∞,+∞)上不连续
D、f′(x)在(—∞,+∞)上连续
答案
C
解析
本题主要考查分段函数在分界点处的连续性,可导性及导函数的连续性问题.
f(x)的定义域是(—∞,+∞),它被分成两个子区间(—∞,0]和(0,+∞).在(—∞,0]内f(x)=x
2
,因而它在(—∞,0]上连续,在(—∞,0)内导函数连续,且f
-
′(0)=0;在(0,+∞)内f(x)=x
2
cos
,因而它在(0,+∞)内连续且导函数连续.
注意
=0=f(0),因而f(x)在(—∞,+∞)连续.可见A不正确.又因
即f(x)在x=0右导数f
+
′(0)存在且等于零,这表明f′(0)存在且等于零.于是,f′(x)在(—∞,+∞)上处处存在.可见B不正确.
注意,当x>0时,f′(x)=
,
于是
f′(x)不存在,这表明f′(x)在x=0处间断
可见C正确,D不正确.故选C.
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考研数学二
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