设f(u)在区间[-1,1]上连续,且∫-11f(u)du=A.求二重积分I=f(x﹢y)dxdg的值.

admin2018-12-21  33

问题 设f(u)在区间[-1,1]上连续,且∫-11f(u)du=A.求二重积分I=f(x﹢y)dxdg的值.

选项

答案先画出积分区域D={(x,y)||x|﹢|y|≤1),如图(a)所示. I=[*]f(x﹢y)dxdy=∫-10dx∫-1-x1﹢xf(x﹢y)dy﹢∫01dx∫-1﹢x1-xf(x﹢y)≥dy. 对于 I1=∫-10dx∫-1-x1﹢xf(x﹢y)dy的内层,对y的积分作积分变量代换,令u=x﹢y.当y=-1-x时,u=-1;当y=1﹢x时,u=1﹢2x.于是I1=∫-10dx∫-1-x1﹢xf(x﹢y)dy=∫-10dx∫-11﹢2xf(u)du. 再交换x与u的积分次序(如图(b)),得I1=∫-10du[*]f(u)dx=-∫-10[*]f(u)du. 类似地,I2=∫01dx∫-1﹢x1-xf(x﹢y)dy[*]∫01dx∫-1﹢2x1f(u)du=∫-11du[*]f(u)dx=∫-11[*]f(u)du. 从而I=I1﹢I2=∫-11f(u)du=A. [*]

解析
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