(2003年)若矩阵A＝相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使P-1AP＝A．

admin2016-05-30 51

问题 (2003年)若矩阵A＝

相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使P^-1AP＝A．

选项

答案由A的特征多项式｜λ－A｜＝[*] ＝(λ－6)(λ²－4λ－12)＝(λ－6)²(λ＋2) 得A的特征值为λ^*＝λ²＝6，λ³＝－2．因为A只有一个重特征值6(二重)，所以， A可对角化[*]对应于特征值6的线性无关特征向量有2个 [*]齐次方程组(6E－A)χ＝0的基础解系含2个向量 [*]3－秩(6E－A)＝2 [*]秩(6E－A)＝1 从而由 [*] 知a＝0，且由此可得对应于λ₁＝λ₂＝6的两个线性无关特征向量可取为 [*] 对于特征值λ₃＝－2，由 [*] 得对应的一个特征向量可取为ξ＝(1，－2，0)^T．于是ξ₁，ξ₂，ξ₃就是3阶方阵A的3个线性无关特征向量，令矩阵 [*] 则P可逆，且使P^-1AP＝[*]为对角矩阵．

解析

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考研数学二

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