2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1/2)=2，f(1)=1/2．证明：存在c∈(0，1)，使得f(c)=c，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)+f(ξ)=1+ξ．

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1/2)=2，f(1)=1/2．证明：存在c∈(0，1)，使得f(c)=c，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)+f(ξ)=1+ξ．

admin2022-10-12  24
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1/2)=2，f(1)=1/2．证明：存在c∈(0，1)，使得f(c)=c，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)+f(ξ)=1+ξ．
选项
答案令h(x)=f(x)-x，h(1/2)=f(1/2)-1/2=3/2＞0，h(1)=f(1)-1=-1/2＜0，由零点定理，存在c∈(1/2，1)∈(0，1)，使得h(c)=0，即f(c)=c．令φ(x)=ex[f(x)-x]，由f(0)=0，f(c)=c得φ(0)=φ(c)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(0，c)∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=ex[f’(x)+f(x)-1-x]且ex≠0得f’(ξ)+f(ξ)=1+ξ．
解析
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考研数学三

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